Kerndichteschätzer im Kontext universaler Konfidenz. - 127 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2013
Die Masterarbeit befasst sich mit einer nichtparametrischen Variante der Dichteschätzung, den Kerndichteschätzern. Im Mittelpunkt stehen gleichmäßige und punktweise Approximationen der unbekannten Dichte in Wahrscheinlichkeit durch einen Kerndichteschätzer. Diese Approximationen bilden die Grundlage zur Bestimmung von universalen Konfidenzmengen. Im Fall punktweiser Approximationen werden die resultierenden universalen Konfidenzmengen mit bekannten asymptotischen Aussagen verglichen. Der Schwerpunkt liegt jedoch auf der Bestimmung von Konfidenzmengen für obere Niveaumengen der unbekannten Dichte, welche in der explorativen Statistik eine wesentliche Rolle spielen. Die benötigten gleichmäßigen Approximationen der Dichte in Wahrscheinlichkeit liegen Arbeiten von Frau Professor Vogel und Frau Dünnbier vor. Diese Möglichkeiten werden in der Arbeit aufgegriffen und abgeändert. Die Voraussetzungen an die unbekannte Dichte werden abgeschwächt und es wird gezeigt, dass die Hölder- Stetigkeit der Dichte hinreichend ist, um Approximationen der Dichte in Wahrscheinlichkeit zu erhalten. Basierend auf der Definition geeigneter multivariater Kernfunktionen wird eine Abschätzung des gleichmäßigen Bias für hinreichend glatte Dichten unter Berücksichtigung einer allgemeineren Bandbreitenmatrix angegeben, welche ebenfalls in die Approximation der Dichte in Wahrscheinlichkeit einfließt. Es wird gezeigt, dass die Angabe der universalen Konfidenzmengen für obere Niveaumengen der Dichte über die Bestimmung von oberen Niveaumengen des Kerndichteschätzers zu realisieren ist. Auf Grundlage dieser Aussage und der fast sicheren Hölder- Stetigkeit des Kerndichteschätzers werden allgemeine multivariate Algorithmen vorgeschlagen und in der Statistiksoftware R umgesetzt. Die Algorithmen ermöglichen eine äußere und innere Approximation der oberen Niveaumengen des realisierten Kerndichteschätzers. Es wird gezeigt, dass sich die fast sicher Hölder- Stetigkeit des Kerndichteschätzers unter bestimmten Voraussetzungen an die unbekannte Dichte abschwächen lässt und so eine verbesserte Laufzeit der Algorithmen zu erreichen ist. Insbesondere für uni- und bivariate Kerndichteschätzer bilden die vorgeschlagenen Algorithmen eine erste Grundlage die oberen Niveaumengen des Kerndichteschätzers auch ohne weitere Strukturaussagen, wie die Konvexität oder Sternförmigkeit der Niveaumengen, zu bestimmen.
Über Unterteilungen des $K_{3,3}$ in Graphen. - 30 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
Diese Arbeit beschäftigt sich mit den Fragen: 1. Unter welchen Voraussetzungen enthält ein nichtplanarer Graph eine Unterteilung des $K_{3,3}$? 2. Unter welchen Voraussetzungen enthält ein paarer Graph sogar eine saubere Unterteilung des $K_{3,3}$?
Spektrum und quadratisch numerischer Wertebereich von Blockoperatormatrizen. - 36 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
Eine wichtige Eigenschaft des quadratisch numerischen Wertebereichs ist die sogenannte Spektralinklusion. Das bedeutet, dass das Punktspektrum eines Operators in seinem quadratisch numerischen Wertebereich liegt und das Spektrum von im Abschluss enthalten ist. Diese Eigenschaft ist auch vom numerischen Wertebereich bekannt. Dabei bietet der quadratisch numerische Wertebereich im Allgemeinen eine genauere Abschätzung des Spektrums als der numerische Wertebereich. Generell gilt, dass der quadratisch numerische Wertebereich im numerischem Wertebereich enthalten ist. Dagegen gehen beim quadratisch numerischem Wertebereich im Vergleich zum numerischem Wertebereich Eigenschaften, wie Konvexität und Zusammenhang verloren. Stattdessen besteht der quadratisch numerische Wertebereich aus bis zu zwei Zusammenhangskomponenten. In dieser Arbeit geben wir einen eigenen Beweis für diese Eigenschaft des quadratisch numerischen Wertebereichs an. Die in dieser Arbeit vorgestellten Theoreme und Aussagen über den quadratisch numerischen Wertebereich entstammen zu einem großen Teil den Abschnitten 1.1, 1.2 und 1.3 aus dem Buch von Christiane Tretter: Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. Diese Abschnitte werden mit dieser Arbeit um eigene Beweise ergänzt. Außerdem werden Corollary 1.14 und Remark 1.3.5 aus diesem Buch korrigiert wiedergegeben und mit passenden Gegenbeispielen unterlegt.
Gebrochene Kantenfärbungen gewichteter Graphen. - 32 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
Das f-Kantenfärbungsproblem besteht darin, die Kanten eines gewichteten Graphen mit so wenig wie möglich Farben zu färben, wobei an jedem Knoten v jede Farbe höchstens f(v)-mal vorkommen darf. Zhang, Yu und Liu charakterisierten das f-Matching-Polytop durch lineare Ungleichungen und konnten damit eine Formel für den gebrochenen f-chromatischen Index herleiten. Es wird festgestellt, dass die Beweise lückenhaft sind, und durch Angabe von Gegenbeispielen belegt, dass die Aussagen falsch sind. Auf den Zusammenhang mit der Vermutung von Nakano, Nishizeki und Saito wird ebenfalls eingegangen.
Beiträge zu kontinuierlichen Schwingungssystemen: Schwingungen abgesetzter Balken mit visko-elastischen Bettungen. - 96 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2012
Diese Arbeit untersucht Eigenkreisfrequenzen von abgesetzten Balken auf visko-elastischen Bettungen. Ein wichtiger Punkt in dieser Arbeit ist der Beweis, dass die Abschnitte des Balkensystems gemeinsame Eigenkreisfrequenzen besitzen, obwohl sie unterschiedliche Eigenwerte haben. Dieses Balkensystem wird stückweise aufgebaut, beginnend mit den Grundlagen von Biegeschwingern ohne Absatz und Bettung, basierend auf der Euler-Bernoulli'schen Balkentheorie. Danach wird der Einfluss von Absätzen auf die Eigenkreisfrequenzen untersucht. Als nächstes wird die Schwingung von Balken ohne Absatz auf rein elastischen und im Anschluss, mit der gleichen Herangehensweise, auf rein viskosen Bettungen untersucht. Letzendlich wird die Schwingung von abgesetzten Balken auf visko-elastischen Bettungen betrachtet. Für einen leichteren Einstieg in die Thematik wird jedes Kapitel mit dem entsprechenden Modell von längsschwingenden Stäben eingeleitet. Jedes Kapitel wird mit Beispielen abgeschlossen, dessen Ergebnisse in Maple numerisch berechnet wurden. Die Ergebnisse werden mit dem Rayleighquotienten und der Finiten Elemente Methode(FEM) verglichen.
Populationsmodelle und deren Bifurkation. - 56 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
In dieser Arbeit werden zwei und drei Populationsmodelle untersucht. Es werden Ergebnisse aus der Literatur, wie die Herleitung von Differentialgleichungssystemen sowie die qualitative Lösung dieser Systeme, zusammengetragen und erweitert. Der Hauptteil der Untersuchungen bezieht sich auf das Lotka-Volterra Räuber-Beute-Modell. Das Stabilitätsverhalten von Fixpunkten wird hervorgehoben und es werden Phasenportraits erstellt. Darüber hinaus wird ein verbesserter Ansatz eines zwei Populationsmodells, mit innerspezifischer Konkurrenz, vorgestellt, welcher auch auf Stabilität untersucht wird. Außerdem soll ein neuer Aspekt der Bifurkationstheorie betrachtet werden. Es wird überprüft, ob die Systeme eine Bifurkation besitzen und welche Interpretation diese haben könnte. Dazu werden verschiedene Parameter variiert und die so veränderten Systeme qualitativ gelöst. Daraufhin wird die Bifurkation des zwei Populationsmodells mit innerspezifischer Konkurrenz näher betrachtet und mit der Hopfverzweigung verglichen. Zum Schluss wird ein Ansatz für ein Modell mit beliebig vielen Populationen vorgestellt und speziell für drei Spezies näher betrachtet. Dabei werden die Auswirkungen der Interaktion zwischen den drei Spezies auf die Wahl der Parameter erläutert und es wird versucht mit numerischen Mitteln Aussagen über die Entwicklung der verschiedenen Spezies zu machen.
Konfidenzmengen für multivariate, stetige Dichten und univariate Dichten mit Unstetigkeitsstellen auf der Basis von Kernschätzern. - 33 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
In der Arbeit werden für multivariate Dichtefunktionen optimale Bandbreiten und Kernfunktionen bez. einer gleichm. Approximation der Dichte in Wahrscheinlichkeit abgeleitet und diese in einer Computersimulation verwendet. Des Weiteren wird eine gleichm. Approximation der Dichte in Wahrscheinlichkeit für Dichten mit einer Unstetigkeitsstelle und modifizierte Kerndichteschätzer hergeleitet.
Ein implizites parallelisierbares Runge-Kutta-Verfahren. - 53 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
Das Ergebnis der Bachelorarbeit mit dem Thema: "Ein implizites parallelisierbares Runge-Kutta-Verfahren" ist das Auffinden eines problemspezifischen implizites Runge-Kutta-Verfahrens der Konsistenzordnung 2, welches die Eigenschaft der A-Stabilität erfüllt. Zunächst wird im ersten Kapitel ein kurzer Überblick über die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen gegeben. Anschließend wird auf die Grundlagen der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen eingegangen, verschiedene implizite Runge-Kutta-Verfahren vorgestellt und deren Stabilitätseigenschaften beschrieben. Im fünften Kapitel werden Verfahren zur numerischen Lösung von Gleichungenssystemen vorgestellt, um somit die Gleichungen, welche bei der Berechnung der impliziten Runge-Kutta-Verfahren auftreten, zu berechnen. Das nächste Kapitel beschäftigt sich mit der Konstruktion des Runge-Kutta-Verfahrens und des Algorithmus zur Lösung eines Anfangwertproblems. Ferner wurden die Stabilitätseigenschaften des Verfahrens untersucht. Hierbei hat sich herausgestellt, dass das konstruierte Verfahren A-stabil, AN-stabil, B-stabil und algebraisch stabil ist. Allerdings sind die Voraussetzungen der starken A-Stabilität und der L-Stabilität nicht erfüllt. Anschließend wurde der Algorithmus an einem einfachen Testproblem, sowie an einer Variante des Broadwell-Modells überprüft. Im letzten Kapitel wurde mit einem adaptiven Verfahren noch eine Möglichkeit angegeben, den lokalen Diskretisierungsfehler mithilfe eines Kontrollverfahrens abschätzen zu können. Die im Unterkapitel 5.3 angegebenen Eigenschaften der Funktion J stimmen mit denen des Kollisionsoperators des allgemeinen diskreten Geschwindigkeitsmodells überein, wobei dieser parallel ausgewertet wird. Aus diesem Grund eignet sich der Algorithmus zur numerischen Lösung der Standardform des diskreten, linearisierten Geschwindigkeitsmodells der Boltzmanngleichung. Aufgrund der Stabilitätseigenschaften des impliziten Runge-Kutta-Verfahrens, lässt dieses Verfahren eine größere Schrittweite zur Berechnung der Lösung zu. Dies führt letztendlich zu einer schnelleren Berechnung der Differentialgleichungen bzw. bietet es die Möglichkeit bei komplexeren Modellen überhaupt zu einer Lösung zu gelangen.
Packungen von isomorphen induzierten unabhängigen Untergraphen. - 38 S. Ilmenau : Techn. Univ., Masterarbeit, 2012
Zu einem gegebenen Graphen $G$ nennt man zwei eckendisjunkte induzierte Untergraphen $H$ und $H'$ von $G$ unabhängig in $G$, wenn in $G$ keine Kante zwischen $H$ und $H'$ existiert. Mit $\alpha(G,H)$ bezeichnen wir die maximale Anzahl von eckendisjunkten Kopien von $H$, die in $G$ als induzierte und paarweise unabhängige Untergraphen enthalten sind. Damit ist $\alpha(G,K_1)$ äquivalent zur Unabhängigkeitszahl von $G$. In der Arbeit werden obere Schranken für $\alpha(G,H)$ gezeigt. Dabei wird die Ungleichung $\alpha(G,K_1)\le \frac{-\lambda_0 }{r-\lambda_0 } |V(G)|$ von A.J. Hoffman für einen $r$ - regulären Graphen $G$ mit kleinstem Eigenwert $\lambda_0$ verallgemeinert. Für einen beliebigen Graphen $G$ mit größtem Eigenwert $\ambda^0$ und Minimalgrad $\delta$ hat W.H. Haemers die Ungleichung von Hoffman erweitert zu $\alpha(G,K_1)\le \frac{-\lambda_0\lambda^0}{\delta^2-\lambda_0\lambda^0} |V(G)|$. Unsere Resultate sind nicht mit dem Ergebnis von W.H. Haemers vergleichbar.
Konfidenzintervalle für Value-at-Risk und Average Value-at-Risk. - 33 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2012
In dieser Arbeit werden Konfidenzintervalle für die Risikomaße Value-at-Risk und Average Value-at-Risk abgeleitet. Dies geschieht jeweils unter Benutzung der empirischen Verteilungsfunktion und unter Verwendung von Kerndichteschätzern. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse in einer Computersimulation umgesetzt.