Bachelor Theses and Master Theses

In der vorliegenden Masterarbeit wird eine Abschwächung einer Vermutung von Thomassen gezeigt. Thomassen hatte vermutet, dass 4-zusammenhängende Kantengraphen hamiltonsch sind - das ist, sie besitzen einen aufspannenden Kreis. Hier zeigen wir, dass, mit einer wesentlich einschränkenden Bedingung an Ecken des Grades 3 im Urbild des Kantengraphen, 5-reguläre, 4-zusammenhängende Kantengraphen hamiltonsch sind. Weiterhin gibt es eine Vermutung, die von L. Lovász im Jahr 1969 aufgestellt wurde. Diese besagt, dass - bis auf wenige Ausnahmen - alle vertex-transitiven Graphen hamiltonsch sind, wobei man einen Graphen vertex-transitiv nennt, wenn seine Automorphismengruppe transitiv auf den Ecken des Graphen wirkt. Durch Ausnutzen des obigen Resultates und nach Klassifikation der 5-regulären vertex-transitiven Kantengraphen können wir dann zeigen, dass vertex-transitive, 5-reguläre Kantengraphen, in deren Urbild Kreise der Länge 4 enthalten sind, hamiltonsch sind.Abschließend fokussieren wir uns auf ein Resultat von Jaeger, der 1979 eine sehr nützliche Äquivalenz zeigte, in der er die Kantenmengen, die innerhalbe eines gegebenen Graphen zu einem eulerschen Teilgraphen erweitert werden können, klassifizierte. Dies nutzen wir, um Resultate, die bereits nützlich dafür waren, Abschwächungen von Thomassens Vermutung zu zeigen, zu verschärfen.

Wir formulieren und beweisen ein Gesetz der großen Zahlen für ein zeitdiskretes stochastisches SIR-Modell einer Epidemie, welches eine Erweiterung des entsprechenden Modells für homogene Bevölkerungen ist: Nach Ziehen einer potentiell inhomogenen Bevölkerung startet eine Epidemie, wobei die Infektions- und Genesungswahrscheinlichkeiten von dieser zufälligen Bevölkerung abhängen. Das zentrale Ergebnis der Arbeit besagt, dass zu jedem Zeitpunkt die empirischen Maße der aktuell Suszeptiblen, Infizierten und Genesenen punktweise in Wahrscheinlichkeit gegen deterministische Grenzwerte konvergieren, wobei diese Grenzwerte explizit durch Iterationsgleichungen gegeben sind. Wir beweisen dies zunächst für Epidemien mit einer endlichen Anzahl von Typen von Individuen und verwenden solche, um den allgemeinen Fall zu approximieren. Im weiteren Verlauf untersuchen wir die Stetigkeit der Grenzwerte in den Parametern und ihr Verhalten für gegen unendlich konvergierende Zeitpunkte. Zur Illustration unserer Ergebnisse haben wir solche Epidemien auf dem zweidimensionalen Torus simuliert und mit den deterministischen Grenzwerten verglichen.

In der wissenschaftlichen Disziplin Physik ist die energiebasierte Modellierung von Systemen von Bedeutung. In diesem Zusammenhang erscheinen sogenannte Port-Hamiltonsche Systeme als ein valides Konzept. Wir werden uns mit zwei verschiedenen Betrachtungsweisen Port-Hamiltonscher Systeme und mit deren mathematischen Grundlagen tiefer beschäftigen. Diese werden das geometrische Port-Hamiltonsche System und das Port-Hamiltonsche System in Differentialgleichungsform sein. Ferner befassen wir uns mit der Systemmodellierung im Bereich Physik. Ausgehend von den beiden Betrachtungsweisen zeigen wir in dieser Arbeit die Äquivalenz dieser im Sinne des Behaviours. Dabei sind die erwähnten Klassen von Systemen dahingehend äquivalent, dass wir für das jeweils eine, ein System der anderen Klasse finden, sodass diese übereinstimmen.

Gegenstand dieser Arbeit ist es, die Port-Hamiltonsche Modellierung, die in zahlreichen Bereichen der Physik eingesetzt wird, auf das Gebiet der Mikroökonomik anzuwenden. Dazu wird der Begriff der Energie mit einer Geldmenge identifiziert und die grundlegenden Elemente eines Marktes, Angebot, Nachfrage, ein Lager und eine Investition, werden in die Port-Hamiltonsche Modellierungsart eingeordnet. Diese Elemente werden einzeln modelliert und schließlich in einem System, dem Pedersen Markt, miteinander verbunden. Ein Hauptaugenmerk liegt dabei auf der ökonomischen Interpretation. Die Kopplung der einzelnen Akteure findet durch den Markt, formalisiert durch eine Dirac-Struktur, statt. Es zeigt sich, dass eine Gelderhaltungseigenschaft und Bilanzgleichung erfüllt ist. Ferner zeigen wir mittels numerischer Untersuchung anhand eines Marktmodells die Korrespondenz des Gleichgewichtsbegriffs in der Systemtheorie und ebendiesem in der Mikroökonomik.

Diese Bachelorarbeit beschäftigt sich mit gemischt-ganzzahligen Optimierungsproblemen mit nichtkonvexen Funktion. Diese treten zum Beispiel in der Physik bei der Modellierung von Versorgungsnetzen wie Gasnetzwerken auf. Zum Bestimmen unterer Schranken werden lineare Probleme gelöst, die durch das Einhüllen der problematischen nichtkonvexen Funktionen als Relaxierungen dienen.