Bachelor Theses and Master Theses

Das Sil'nikov Problem (nach dem russischen Mathematiker L. P. Sil'nikov) bezeichnet ein speziell gestelltes Randwertproblem, welches ursprünglich benutzt wurde, um den Fluss eines Vektorfeldes (bzw. einer gewöhnlichen autonomen Differentialgleichung) in der Umgebung einer hyperbolischen Gleichgewichtslage zu beschreiben. Solche Betrachtungen finden u.a. Anwendung bei der Untersuchung des dynamischen Verhaltens in der Nähe von homoklinen Orbits und heteroklinen Zykeln. Ziel dieser Arbeit ist es, das Sil'nikov Problem für den kontinuierlichen Fall mit den existierenden Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung, sowie deren Glattheit und asymptotisches Verhalten für t gegen unendlich vorzustellen, und in analoger Weise auf diskrete dynamische Systeme zu übertragen.

Meine Diplomarbeit ist eine Übersetztung vom Englischen ins Deutsche von vier Kapiteln der gleichnamigen Monographie von R. Kaas, D. R. Dannenburg und M. J. Goovaerts. Dabei habe ich zusätzlich Beweise im Text ausgeführt und die zu jedem Kapitel gestellten Aufgaben gelöst. In der Praxis muss oft eine Prämie für eine Gruppe von Versicherungsverträgen bestimmt werden, bei der nur eine begrenzte Erfahrung über die einzelne Gruppe von Verträgen verfügbar ist, aber dafür viel Erfahrung über andere, mehr oder weniger ähnliche, Verträge. Um daraus eine optimale Credibility-Prämie zu bekommen, betrachten wir ein gewichtetes Mittel z_jX_j+(1-z_j)X mit dem Gesamtmittelwert X aller Daten (Kollektivprämie), den Schadenmittelwerten X_j für jede Gruppe j als Individualprämien und dem Credibility-Faktor z_j , der die Glaubwürdigkeit der individuellen Erfahrung von Gruppe j beschreibt. Je nach Voraussetzungen gibt es Modelle, wie das balanzierte Bühlmann- oder Bühlmann-Straub-Modell, um den homogenen und inhomogenen Credibility-Schätzer zu bestimmen. Ebenso wird ein allgemeines Modell mit invertierter Kovarianzmatrix betrachtet, aus dem sich die speziellen Modelle herleiten lassen. Zum Schluss wird der Fall untersucht, wenn der Schätzer nicht als linear vorausgesetzt ist.

Abstrakte Konvexität behandelt Mengensysteme, die einige Eigenschaften mit den klassischen konvexen Mengen des $\mathbb{R}^n$ gemeinsam haben. Diskrete Strukturen, wie Graphen und partiell geordnete Mengen, induzieren konvexe Räume und verwandte mathematische Strukturen auf deren Grundmengen auf verschiedenste Art und Weise. - Der erste Teil behandelt sogenannte Strict Betweenness Relationen. Zwei Relationen dieser Art werden von Graphen und partiell geordneten Mengen induziert. Es wird gezeigt für welche Strict Betweeneess Relationen sowohl Graphen als auch partiell geordnete Mengen existieren, die diese induzieren. Das Hauptresultat gibt an, dass die Komponenten bzw. schwachen Komponenten von Graphen und partiell geordneten Mengen eines solchen induzierenden Paares eine schichtartige Struktur haben müssen. Es wird weiter gezeigt, dass unter gewissen Minimalitätsforderungen das induzierende Graph-Poset-Paar einer Strict Betweenness Relation eindeutig ist. - Ein weiteres Konzept von Konvexität, $\Delta$-Konvexität auf Kantenmengen von Graphen, wird im zweiten Teil behandelt. Im Speziellen werden Graphklassen, deren minimale $\Delta$-Hüllenmengen ihre spannenden Bäume sind, betrachtet. Zunächst werden zwei Resultate von Jamison \cite{Jamison} präsentiert. Dann werden einige weitere Beispiele solcher Klassen aufgezeigt. Zum Schluss wird gezeigt, dass alle Graphen, deren minimale $\Delta$-Hüllenmengen ihre spannenden Bäume sind, eine bestimmte Eigenschaft haben, um damit zu zeigen, dass die Vermutung Jamisons, dass alle null-homotopischen Graphen zu dieser Klasse gehören, falsch ist.

Differential - algebraische Gleichungen, kurz DAEs, treten in Naturwissenschaften in natürlicher Weise oft auf. Die Lösungen solcher DAEs sind allerdings oftmals nicht explizit angebbar, oder zu komplex um an ihnen ein Systemverhalten ablesen zu können. Aus diesem Grund werden sie zum Teil mithilfe einer Laplace-transformation gelöst, wobei eine sogenannte symbolische Approximation im Frequenzbereich durchgeführt wird. Dieses Verfahren führt im allgemeinen zu wesentlich einfacheren Systemen mit gut handhabbaren Lösungen. Den hierbei entstehenden Fehler kann man im Frequenzbereich gut abschätzen, wie sich dieser aber im Zeitbereich verhält ist weitesgehend unbekannt. Aus diesem Grund werden in dieser Arbeit untersucht, wie sich Störungen von DAEs im Frequenzbereich auf die Lösung im Zeitbereich auswirken und es werden Fehlerschranken für die Lösung im Zeitbereich entwickelt. Hierbei wird nur zugrunde gelegt, dass man weiß, wie die Störung aussah, wie die Lösung des gestörten Systems aussieht und dass das Eingangssignal aus dem Raum Lø stammt. Als Grundlage dient die Laplace-theorie, um dann mithilfe der Theorie der Lebesgue- und Hardyräume Fehlerschranken im Zeitbereich zu gewinnen. Schließlich wird anhand eines praxisnahen Beispiels demonstriert, in welchen Fällen diese Fehlerschranken nützlich sind.

Meine Diplomarbeit beschreibt die numerische Verfahren für die lineare Advektionsgleichungen. Die linearen Advektionsgleichungen sind spezielle partielle Differentialgleichungen. Mit der verschiedene numerische Verfahren kann man die Nährungswert von den liearen Advektionsgleichung bestimmen. Die verschiedene Verfahren haben verschiedene Eigenschaften, z.B Konvergent, Stabilität, CFL-Bedingung usw. Wenn ein numerische Verfahren Konsistent und Stabilität ist, ist das Verfahren Konvergent. Für mehrer Dimensionen kann man durch spezielle numerische Verfahren anwenden, z.B. Taylorreihen-Verfahren, Charaktristiken-Verfahren und Operator-Splitting-Verfahren.