Eigenvalues of compact integral operators with smooth kernels . - 40 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009
Die Arbeit beschäftigt sich mit dem Eigenwertverhalten kompakter Integraloperatoren mit quadratisch integriebaren Kernen, vornehmlich im L2-Funktionenraum über einem kompakten Intervall. Die Konvergenzgeschwindigkeit der Eigenwertfolge wächst mit der Glattheit des Kerns. Sätze von H. Weyl und J.B. Reade über selbstadjungierte Operatoren mit p-mal differenzierbaren Kernen werden zusammengefasst und zueinander in Beziehung gesetzt, und der vollständige Beweis für das Ergebnis von Reade wird geführt. Ein Beweis dieses Ergebnisses von C.M. Dikmen und J.B. Reade, der die Faktorisierung von Operatoren benutzt, schlägt eine Brücke zur Theorie der s-Zahlen.
Nash-Gleichgewichte des Pagerankspiels. - 49 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009
Betrachtet wird jenes Normalformspiel, das die Webseiten des World Wide Web als Spieler enthält, welche in beliebigerweise Links setzen können und als Auszahlung den von Google verwendeten PageRank erhalten. Ziel der Arbeit ist es, die Struktur der Nash-Gleichgewichte dieses Spiels zu bestimmen. Mit Hilfe des Modells des nachtragenden Websurfers werden notwendige und hinreichende Bedingungen für das Vorliegen eines Nash-Gleichgewichtes angegeben. Desweiteren wird ein Algorithmus zur automatischen Berechnung von Nashgleichgewichten vorgestellt.
Schätzung eines Graustufenbildes mit Methoden der multivariaten nichtparametrischen Regression. - 68 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009
Ein typisches Problem der Bildanalyse ist das Rekonstruieren eines Bildes aus verrauschten Daten. Thema dieser Diplomarbeit ist die Schätzung eines Graustufenbildes mit Methoden der multivariaten, nichtparametrischen Regression. Neben der Darstellung eines Modells und Schätzers, liegt der Fokus dieser Arbeit auf der detaillierten Herleitung einer asymptotischen oberen Schranke des Schätzers. Es kommt ein Zwei-Schritt-Schätzer zum Einsatz, dabei folgt nach einer einfachen Klassifikation, die Anwendung eines lokalen Polynom-Schätzers im Mehrdimensionalen.
Dense graphs with large odd girth. - 45 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009
Ein Graph G mit ungerader Taillenweite (mindestens) 2k + 1 ist ein Graph, der keine Kreise von ungerader Länge kleiner als 2k + 1 besitzt. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Struktur von Graphen mit beliebiger ungerader Taillenweite 2k+1 und großem Minimalgrad. Frühere Arbeiten haben die Struktur von Graphen mit ungerader Taillenweite 5 und hohem Minimalgrad hinreichend charakterisiert. Als erstes wird eine Zusammenfassung der Kette dazu beitrageneder Ergebnisse gegeben. Einfach formuliert lautet das Hauptresultat: Jeder Graph von Ordnung n mit ungerader Taillenweite 5 und Minimalgrad > n/3 ist 4-färbbar und homomorph mit einem Graphen aus zwei unendlichen Folgen von Graphen. Weiterhin ist eine neue Charakterisierung einer bestimmten Klasse von Teilgraphen (die "generalized pentagons"), die in Graphen mit ungerader Taillenweite 5 und großem Minimalgrad enthalten sind, gegeben. Die wenigen Resultate für Graphen mit ungerader Taillenweite 7 und beliebiger ungerader Taillenweite 2k + 1 für k > 3 werden dann präsentiert. Im Anschluss folgt das Hauptergebnis dieser Arbeit, eine Bestätigung einer Vermutung von Albertson, Chan, and Haas, die besagt: jeder Graph von Ordnung n mit ungerader Taillenweite 2k + 1 und Minimalgrad mindestens 3n/4k ist entweder homomorph dem (2k + 1)-Kreis oder kann durch eine Reihe von Ecken-Duplikationen der Möbiusleiter mit 2k Sprossen erhalten werden. Ein maximaler Graph mit ungerader Taillenweite 2k + 1 ist ein Graph mit ungerader Taillenweite 2k + 1 zu dem keine Kante hinzugefügt werden kann ohne einen ungeraden Kreis von Länge kleiner als 2k + 1 zu erzeugen. Solche maximalen Graphen sind von zentraler Bedeutung im Beweis des Hauptergebnisses, da die wichtigsten mathematischen Werkzeuge in den nachfolgenden Beobachtungen einfache Eigenschaften von maximalen Graphen mit ungerader Taillenweite 2k + 1 sind.
Optimale Produktionsplanung mit MATLAB unter Berücksichtigung unterer Produktionsmargen. - 67 S. : Ilmenau, Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2009
Für einen optimalen Produktionsplan wird zunächst ein Lineares Optimierungsmodell aufgestellt und in das Computeralgebrasystem MATLAB implementiert. Hierbei werden für die einzelnen Produktionszahlen, bis auf die Forderung der Nichtnegativität, keine Schranken gesetzt. Diese werden mit Hilfe eines unvollständigen Branch-and-Bound Algorithmus so gesetzt, dass der Zielfunktionswert nur einen marginalen Unterschied zur unbeschränkten Lösung aufweist. Diese Eigenschaft lässt sich durch die nahezu orthogonale Lage des Gradienten der Zielfunktion zu den Gradienten der Restriktionen erklären. Des Weiteren wird der Algorithmus an anderen linearen Optimierungsproblemen ohne oben genannte Eigenschaft getestet und ausgewertet. Weiterhin werden die anderen Programmteile, soweit notwendig, auf ihre Funktionsfähigkeit untersucht. Abschließend werden Unregelmäßigkeiten in der Produktion mit Hilfe der erstellten Grafiken festgestellt und eine geeignete Gegenmaßnahme benannt.
Numerische Fortsetzung stabiler und instabiler Invarianzkurven von Poincaré-Abbildungen dynamischer Systeme. - 96 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2009
Die Diplomarbeit beschäftigt sich mit der numerischen Approximation stabiler und instabiler Invarianzkurven von Poincaré-Abbildungen dynamischer Systeme. Bei periodisch erregten Systemen lassen sich in der Regel mehrere stabile Lösungen bestimmen. Nun stellt sich bei gegebener Anfangslösung die Frage, auf welche dieser Lösungen sich das System einschwingt. Dazu sollen mit der Fortsetzungsmethode von Philippow die Grenzen der Einzugsgebiete (die so genannten Separatrizen) stabiler periodischer Lösungen numerisch approximiert werden. Mit Hilfe eines selbst entwickelten Matlab-Programms soll das Lösungsverhalten periodisch erregter Systeme der Dimension˜2 geklärt werden. Der Fortsetzungs-Algorithmus knüpft an die langjährige Forschungsarbeit auf diesem Gebiet an und verbessert ein bereits bestehendes Programm.
Experimentelle Überprüfung einer Vermutung zu Delay-optimalen Bäumen. - 68 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2009
In dieser Arbeit werden Delay-optimale Bäume betrachtet, die durch einen Algorithmus von Bartoschek, Held, Rautenbach und Vygen erzeugt werden. Diese Bäume dienen zur Realisierung von Schaltungen auf einem Computer-Chip. Durch Bartoschek, Held, Rautenbach und Vygen wurde bereits eine untere Schranke für die Zielfunktion des Algorithmus angegeben. Ziel der Arbeit ist es, durch eine experimentelle Überprüfung in Maple festzustellen, wie stark die resultierenden Delay-optimalen Bäume bei Veränderung der Ausgangsbedingungen (Eingabe von unsortierten Ausgangswerten an Stelle von fallend sortierten Werten) voneinander abweichen. Dazu wurde der Algorithmus in Maple 10 implementiert und etwa 250000 Berechnungen durchgeführt. Dabei wurden die Veränderungen der Delay-optmalen Bäume miteinander verglichen. Durch diese Überprüfung war es möglich für die berechneten Beispiele eine neue obere Schranke für die Zielfunktion anzugeben.
Initialisierung einer Kommunikation. - 53 S. Ilmenau : Techn. Univ., Diplomarbeit, 2008
Bei der Betrachtung von Lernverfahren für wiederholte Normalformspiele ergibt sich die Frage nach solchen Verfahren, die in einem beliebigen, fest vorgegebenen Spiel fast sicher gegen ein vorhandenes Nash-Gleichgewicht konvergieren. - In der Arbeit wird gezeigt, welche Voraussetzungen dafür erfüllt sein müssen und wie ein solches Lernverfahren konstruiert werden kann. Darüber hinaus wird bewiesen, dass die ermittelten Voraussetzungen notwendig sind für die Existenz eines Lernverfahrens. Zu diesem Zweck wird die Problemstellung in eine Begriffswelt überführt, welche die Diskussion der Lernverfahren als Algorithmus veranschaulicht.
Die Unabhängigkeitszahl in Graphen mit wenigen Dreiecken. - 41 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2008
James B. Shearer zeigt, dass die Unabhängigkeitszahl [alpha](G) eines dreiecksfreien, n-eckigen Graphen G mindestens so groß wie n i = 1 f(d i) ist, wobei d i dem Grad der Ecke i entspricht. Die Funktion f ist hierbei rekursiv gegeben durch f(0) = 1 und f(d) = (1 + (d 2 - d)f(d - 1))/(d 2 + 1) für d 1 (A Note on the Independence Number of Triangle-Free Graphs, Discrete Mathematics, 46:83-87, 1983). - Dieser Satz und der dazugehörende Beweis bilden die Basis für die Betrachtungen der Unabhängigkeitszahl in Graphen ohne Dreiecke. In dieser Arbeit wird nun untersucht, wie sich die Funktion f ändert, wenn man einige Dreiecke in Graphen, insbesondere in Graphen mit Maximalgrad [delta](G) 3, zulässt. Mit der neuen Funktion f, gegeben durch f(0, 0) = 1 und f (d, t) = (1 + (d 2 d - 2t)f(d - 1, t))/(d 2 - 2t + 1) für t (d 2) und f(d, t) = 0 sonst, genügt die Unabhängigkeitszahl der Abschätzung [alpha](G) n i = 1 f(d i, t i). Dabei bezeichnet d i wiederum den Grad der Ecke i und t i ihre Dreieckszahl, die für jede Ecke die Anzahl der Dreiecke angibt, die die jeweilige Ecke enthalten.
Zur asymptotischen Stabilität linearer differential-algebraischer Gleichungen. - 65 S. Ilmenau : Techn. Univ., Bachelor-Arbeit, 2008
Differential-algebraische Gleichungen gewinnen in vielen technischen Gebieten, wie zum Beispiel der Elektrotechnik, immer mehr an Bedeutung. Da sie in den meisten Fällen aber nicht explizit lösbar sind, oder schwer handhabbare Lösungen besitzen, konzentriert man sich auf qualitative Aussagen über das Systemverhalten. In dieser Arbeit wird daher die asymptotische Stabilität linearer, homogener, differential-algebraischer Gleichungen mit konstanten Koeffizienten-Matrizen ausführlich untersucht und notwendige sowie hinreichende Bedingungen für diese angegeben. In diesem Zusammenhang wird die Lösbarkeit der sogenannten verallgemeinerten Lyapunov-Gleichung sowie die Eindeutigkeit und Darstellung der Lösung analysiert werden. Als Grundlage dient die Lösungstheorie differential-algebraischer Gleichungen. Im Anhang befindet sich diesbezüglich eine vermutlich neue Darstellungsform der Lösungen mittels verallgemeinerter Hauptvektoren.