Proxy games. - Ilmenau. - 48 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018
Obgleich Nashgleichgewichte das wohl bekannteste Lösungskonzept der Spieltheorie darstellen, sind sie doch eher theoretischer Natur. Damit ist gemeint, dass sich Personen in tatsächlichen Spielsituationen gar nicht, oder nur selten nach dem Nachgleichgewicht richten. Um diese Diskrepanz zwischen mathematischer Vorhersage und tatsächlichem Spielverhalten zu überbrücken, führen wir Stellvertreterspiele als eine weitere Ebene in Normalformspielen ein. Die Hauptidee hierbei ist es, zwischen der Auszahlung die ein Spieler erhält, und seinem/ihrem tatsächlichen Nutzen zu unterscheiden. In dieser Masterarbeit, welche auf den Ergebnissen von Stefan Zeuner und dessen Masterarbeit aufbaut, konnten wir zeigen, dass N-Personen-Spiele mit reinem Nashgleichgewicht stets auch ein reines Stellvertretergleichgewicht haben. Dies stellt eine Verallgemeinerung von Zeuners Resultat über 2-Personen-Spiele dar. Ebenfalls wird eine vollständige Charakterisierung von 2x2-Normalformspielen angegeben und gezeigt, dass diese stets ein reines Stellvertretergleichgewicht besitzen (unter der Voraussetzung, dass die Auswahlfunktion Phi pareto-optimale Ausgänge bevorzugt). Ebenso konnte gezeigt werden, dass die Auszahlungsfunktion des Stellvertreterspiels niemals stetig sein kann, was unsere Möglichkeiten bestehende Resultate bezüglich der Existenz von Nashgleichgewichten zu nutzen, erheblich einschränkt; Und wir konnten zeigen, dass das Konzept von Vertreterspielen (unter gewissen Voraussetzungen) einige grundlegende Probleme mit sich bringt, welche dem Satz von Gibbard-Satterthwaite, sowie Arrows Unmöglichkeitstheorem zuzuschreiben sind. Trotz dieser beiden vorhergehenden Ergebnisse konnte ein reines Stellvertretergleichgewicht (mit Beweis) für ein Spiel angegeben werden, welches mit keiner der vorher bekannten Methoden behandelt werden konnte. Ein möglicher Grund warum diese Art Lösung funktioniert und wie man sie gegebenenfalls auch auf andere Spiele ausweiten kann, wird ebenfalls angedeutet.
General Chaos Expansion für reellwertige Zufallsvariablen. - Ilmenau. - 55 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
In dieser Arbeit wird das Problem, für eine gewisse Zufallsgröße X mit bekannter Verteilung eine unbekannte Funktion f zu approximieren, wobei f(X) quadratisch integrierbar ist. Dazu wird ausgenutzt, dass der Raum solcher Funktionen ein Hilbertraum ist, sodass f in eine Fourierreihe entwickelt werden kann, falls dieser ein bekanntes vollständiges und abzählbares Orthonormalsystem besitzt. Dieses Verfahren heißt Chaos Expansion. Es wird nachgewiesen, dass zu jeder Verteilung von X ein vollständiges abzählbares Orthonormalsystem existiert. Ferner wird ein Algorithmus beschrieben, mit dem ein solches Orthonormalsystem konstruiert werden kann. Dabei wird auf verschiedene Methoden zurückgegriffen, sowohl auf die eher klassische Polynomial Chaos Expansion als auch auf eine selbst erarbeitete, die auf Transformation basiert, speziell mit der Verteilungsfunktion von X. Außerdem müssen die Koeffizienten zur Reihenentwicklung berechnet oder zumindest approximiert werden, wobei Schwierigkeiten auftreten, da f nicht explizit bekannt ist. Es wird ein Kriterium für eine hinreichende Approximation angegeben und beschrieben, wie - vorausgesetzt die Auswertung von f(x) ist für jedes reelle x möglich - bekannte numerische Verfahren genutzt oder auch adaptiert werden können, um dieses Kriterium zu erfüllen. Schließlich wird noch ein mögliches Konzept zur Beurteilung der Approximationsgenauigkeit bei Verwendung einer gewissen Partialsumme der Fourierreihe vorgeschlagen.
Das [Lambda]-Lemma für Vektorfelder und Diffeomorphismen. - Ilmenau. - 59 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
Sei H ein Diffeomorphismus bzw. f ein Vektorfeld mit einem hyperbolischen Fixpunkt p des zugehörigen Flusses. Das [Lambda]-Lemma besagt, dass ein Transversalschnitt der zum Punkt p gehörenden stabilen Mannigfaltigkeit $W^s_{loc}(p)$ unter dem Fluss gegen die instabile Mannigfaltigkeit $W^u_{loc}(p)$ mit exponentieller Ordnung konvergiert. Das starke [Lambda]-Lemma trifft eine analoge Aussage für Transversalschnitte einer erweiterten stabilen Mannigfaltigkeit. Diese konvergieren dann im Sinne der $C^k$-Norm gegen die streng instabile Mannigfaltigkeit. In einer Arbeit von B.Deng, J. Differ. Equations 79, No. 2, 189-231 (1989) werden diese Aussagen im Vektorfeldkontext bewiesen. Dabei werden Eigenschaften der Lösung des Sil'nikov-Problems genutzt. In dieser Bachelorarbeit werden diese Beweise ausfühlich ausgearbeitet. Weiterhin wird der Beweis des [Lambda]-Lemmas in das diskrete Setting übertragen.
Konfidenzbereiche zur optimalen Anpassung von Versicherungsverträgen. - Ilmenau. - 42 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018
In der Versicherungsbranche werden mit dem Modell der logistischen Regression vertragsindividuelle Stornowahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von Beitragsanpassungen geschätzt. Diese werden im Anschluss genutzt, um den erwarteten Gewinn zu Optimieren. Dabei wird zunächst nicht berücksichtigt, dass der im Modell geschätzte Parameter und damit auch der optimierte Gewinn durch einen Konfidenzbereich zu relativieren ist. In dieser Arbeit zeigen wir zunächst die asymptotischen Eigenschaften des Maximum-Likelihood-Schätzers in dem Modell der logistischen Regression, um anschließend für den wahren Parameter einen asymptotischen Konfidenzellipsoid anzugeben. Diesen nutzen wir, um für jede zweifach stetig differenzierbare Funktion mit beschränkter Hesse-Matrix einen uns in der Literatur bisher nicht bekannten asymptotischen Konfidenzbereich herzuleiten. Dieses Ergebnis wird abschließend in einer Fallstudie veranschaulicht.
Konvexe Einbettung und k-Zusammenhang. - Ilmenau. - 19 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
In der Arbeit habe ich auf Basis der Arbeit "Rubber bands, convex embeddings and graph connectivity" den Zusammenhang zwischen der konvexen X-Einbettung eines Graphen (Graphentheorie) und dessen k-Zusammenhang aufgezeigt, eine kurze algorithmische Betrachtung durchgeführt und auf den Nutzen eines solchen Algorithmus hingewiesen.
Kalman-Filter auf Lie-Gruppen. - Ilmenau. - 62 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018
In dieser Arbeit formulieren wir, motiviert durch das Problem der Korrektur der Kopfbewegung in der Magnetoenzephalographie, Kalman-Filter auf Mannigfaltigkeit und Lie-Gruppen. Auf Lie-Gruppen erhalten wir unter Anwendung von verschiedenen Approximationen der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel zwei Algorithmen. In Simulationen testen wir die so gewonnen Verfahren anhand typischer Bewegungsmuster und erzielen dabei gute Rekonstruktionen. Noch ist nicht klar welcher der beiden Algorithmen bessere Ergebnisse erzeugt.
Translationsinvariante Maße auf Banachräumen. - Ilmenau. - 58 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
Diese Arbeit handelt von der Maß- und Integrationstheorie auf Banachräume, wobei insbesondere translationsinvariante Maße betrachtet werden. Hierzu werden zunächst Produktmaße auf unendlich dimensionalen Räumen erläutert. Anschließend wird gezeigt, dass auf unendlich dimensionalen Räumen keine Maße mit Eigenschaften wie beispielsweise (Quasi-)Translationsinvarianz und [sigma]-Endlichkeit existieren, mit Ausnahme einiger trivialer Beispiele. Danach wird der Nullmengenbegriff diskutiert, wobei eine Adaption des Begriffs betrachtet wird, welche auf B. Hunt zurückgeht. Diese Mengen werden schüchterne Mengen genannt. Anschließend wird ein [sigma]-endliches, lokalendliches Maß konstruiert, welches zwar nicht invariant bezüglich aller Nullmengen, jedoch invariant bezüglich aller schüchternen Mengen ist. Zuletzt werden die erarbeiteten Begriffe anhand von Beispielen veranschaulicht.
Qualitätsmaße für Lösungsapproximationen mengenwertiger Optimierungsprobleme. - Ilmenau. - 67 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2017
Mengenwertige Optimierungsprobleme besitzen im Allgemeinen unendlich viele optimale Lösungen. Daher wird statt der gesamten Lösungsmenge häufig nur eine endliche Lösungsapproximation angegeben. In dieser Arbeit werden vier Qualitätsmaße für solche Lösungsapproximationen mengenwertiger Optimierungsprobleme entwickelt. Sie sollen einen qualitativen Vergleich verschiedener Approximationen ermöglichen. Dabei wird der zentrale Ansatz verfolgt, bereits bekannte Qualitätsmaße für Lösungsapproximationen multikriterieller Optimierungsprobleme auch für Lösungsapproximationen mengenwertiger Optimierungsprobleme zu nutzen.
Über eine Modifikation des Pólyaschen Urnenprozesses. - Ilmenau. - 42 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017
Diese Arbeit beschäftigt sich mit einer möglichen Verallgemeinerung von Pólyas Urnenprozess aus dem Jahre 1923. Charakteristisch für das Ausgangsproblem ist die Vergrößerung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, je häufiger es in der Vergangenheit eingetreten ist. Dieser Effekt modelliert Zusammenhänge in sozialen Netzwerken, wie die Ausbreitung von Krankheiten. Das Grenzverhalten bezüglich der Häufigkeiten beider Kugelfarben wurde dazu beschrieben und weitere Variationen des Problems mit mehreren Urnen und Kugelfarben aus der Literatur analysiert. Das selbst gestellte Problem verallgemeinert Pólyas Modell derart, dass unter den Urnen $U_1,\dots,U_k$ unabhängig und gleichverteilt zwei Urnen $U_q$ und $U_e$ ausgewählt werden, wobei eine Kugel aus $U_q$ gezogen, zurückgelegt und eine gleichfarbige Kopie in $U_e$ gelegt wird. Dabei wurde die fast sichere Konvergenz der relativen Häufigkeiten von (farbunabhängiger) Kugelzahl einer Urne im Vergleich zum Gesamtbestand sowie der Anzahl der Kugeln einer bestimmten Farbe in einer Urne zur Gesamtzahl gleichfarbiger Kugeln gegen $1/k$ festgestellt. Damit konnte geschlussfolgert werden, dass für den Spezialfall des zweiurnigen Modells die Differenz der relativen Anteile für zwei Farben mit $n \to \infty$ fast sicher gegen 0 konvergiert. Weiter wurden Algorithmen zur Simulation von Realisierungen und der sukzessiven Berechnung der exakten Verteilung angegeben, die die Farbverteilungen der beiden Modelle vergleichen sollen.
A new separator theorem, metric properties and crossing numbers. - Ilmenau. - 34 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2017
Gegeben sei ein einfacher, endlicher, ungerichteter Graph G = (V,E) mit Eckenmenge V (G) und Kantenmenge E(G). Die Kreuzungszahl eines Graphen G, die mit cr(G) bezeichnet wird, ist das Minimum aller Kantenkreuzungen über alle Zeichnungen von G in der Ebene. Diese ist eine wichtige Messgröße für die Charakterisierung der Nichtplanarität eines Graphen. Aufgrund der schweren Berechenbarkeit des dazugehörigen Entscheidungsproblems ist es gerechtfertigt, sich mit Schranken zu beschäftigen. Diese Masterarbeit liefert einen Beweis für eine obere Schranke für Graphen, die mit beschränkter Verzerrung eingebettet werden können. Unabhängig davon wird ein neues Separator-Theorem angegeben, das ein konstantes Größenverhältnis bei den Komponenten eines Graphen G erzeugt, die durch den Trenner S entstehen. Trenner von Graphen sind mächtige Werkzeuge, die durch den Teile-und-herrsche-Algorithmus motiviert sind.