Studienabschlussarbeiten am Institut

Diese Arbeit beschäftigt sich mit einem numerischen Verfahren zur Lösung der räumlich homogenen Boltzmann-Gleichung. Die Boltzmann-Gleichung ist eine mesoskopische Differentialgleichung der kinetischen Gastheorie, die Partikel in dünnen Gasen betrachtet. Um numerische Untersuchungen durchführen zu können, wird ein diskretes Geschwindigkeitsmodell mit einem zweidimensionalen 3 × 3-Gitter vorgestellt, auf welchem gearbeitet wird. Es werden drei verschiedene Modelle für Stoßoperatoren betrachtet, die in der Boltzmann-Gleichung verwendet werden können: den nichtlinearen allgemeinen, den linearisierten und den Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) Stoßoperator. Die Lösung der Gleichung erfolgt durch ein Runge-Kutta-Verfahren. Dafür bestimmen wir Anfangsbedingungen, die durch eine Störung beeinflusst werden. Es gibt zwei verschiedene Typen von Störungen, eine, die orthogonal auf den Momentenvektoren des Modells steht und eine, die sich in dem Raum aufgespannt von den Momentenvektoren befindet. Insgesamt betrachten wir neun solche Störungen. Die Lösung der Boltzmann-Gleichung wird für jede der Anfangsstörungen berechnet und die Ergebnisse werden miteinander verglichen. Zuerst schauen wir uns für den nichtlinearen Stoßoperator an, wie die Störungen der Anfangsbedingung den Lösungsverlauf beeinflussen können. Anschließend vergleichen wir die Ergebnisse mit denen des linearisierten Stoßoperators und stellen fest, dass nur manche Ergebnisse mit dem BGK-Operator erreicht werden können.

In dieser Arbeit wird ein analytischer Ansatz vorgestellt, der es ermöglicht stochastische Differentialgleichungen pfadweise zu interpretieren. Wir verwenden hierfür Rough Path Integrationstheorie. Zunächst werden Rough Path Integrale eingeführt und einige Eigenschaften dieser sowie der zugehörigen Differential- bzw. Integralgleichungen gezeigt. Danach wird dies verwendet um Lösungstheorie für stochastische Differentialgleichungen zu erhalten.

Viele naturwissenschaftliche und technische Zusammenhänge lassen sich mit Differentialgleichungen beschreiben. Ein in der Anwendung weit verbreitetes Hilfsmittel zum Lösen dieser Gleichungen ist die Laplace-Transformation. Aufgrund der vielseitigen Anwendungsfelder betrachten wir in dieser Arbeit die Laplace-Transformation genauer. Ein großes Anwendungsfeld ist die Elektrotechnik mit der Untersuchung von Schaltplänen und insbesondere von RCL-Netzwerken. Desweiteren diskutieren wir, wie wir mithilfe der Laplace-Transformation Systeme auf Stabilität untersuchen können. Anschließend erläutern wir die Funktionsweise von Block-Diagrammen und wie wir durch Hinzufügen von elementaren Übertragungsgliedern ein System stabilisieren können.

Differential-algebraische Gleichungen (DAEs) sind Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen sowie algebraischen Gleichungen. In der vorliegenden Arbeit verwenden wir DAEs zur Beschreibung elektrischer Netzwerke. Um das Lösungverhalten und die Stabilität von DAEs zu beschreiben, verwenden wir Matrixbüschel und die Weierstraß-Normalform. Anschließend zeigen wir, wie man für elektrische Netzwerke die dazugehörige differential-algebraische Gleichung mit den Bauelemente-Beziehungen sowie den Kirchhoffschen Gesetzen herleiten kann. Abschließend stellen wir die modifizierte Knotenanalyse vor, und untersuchen die Eigenschaften der hergeleiteten DAEs, wie Regularität, Stabilität sowie den Index.

Ein wichtiger Teil der Graphentheorie sind bis heute Färbungsprobleme. Das klassische Färbungsproblem ist ein kombinatorisches Optimierungsproblem. Im Mittelpunkt steht dabei die Untersuchung der chromatische Zahl. Erweitern wir dieses Konzept und fordern, dass jede Farbklasse streng-t-degeneriert ist, so nennen wir die minimale Anzahl benötigter Farben die Eckenpartitionszahl. Wir zeigen grundlegende Eigenschaften kritischer Graphen bezüglich der Eckenpartitionszahl und untersuchen, wann ein Graph in zwei disjunkte Teilgraphen zerlegt werden kann, wobei jede Ecke des ersten Teilgraphen mit jeder Ecke des zweiten Teilgraphen durch genau t Kanten verbunden wird. Des Weiteren untersuchen wir die minimale Anzahl Kanten eines kritischen Graphen bezüglich der Eckenpartitionszahl. Außerdem erweitern wir das Strong Perfect Graph Theorem auf die Eckenpartitionszahl mit t=2.