Eine Verallgemeinerung der Markov-Chain-Monte-Carlo-Methode. - Ilmenau. - 45 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2020
Diese Arbeit beschäftigt sich damit, das Integral einer Funktion gegen ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu approximieren, welches implizit als invariante Verteilung einer Markovkette gegeben ist. Dabei wird eine Verallgemeinerung des Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahrens eingeführt und die Konvergenz des dabei entstehenden Approximationsterms bewiesen. Dabei werden sowohl Markovketten in diskreter als auch in stetiger Zeit behandelt. Weiterhin wird die Übergangsmatrix in diskreter Zeit mit einer linearen Abbildung derart transformiert, dass Selbstübergänge ausgeschlossen werden. Analog dazu wird die Generatormatrix in stetiger Zeit derart transformiert, dass alle Übergänge mit Rate Eins erfolgen.
Stochastic differential equations via rough paths. - Ilmenau. - 99 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2020
In dieser Arbeit wird ein analytischer Ansatz vorgestellt, der es ermöglicht stochastische Differentialgleichungen pfadweise zu interpretieren. Wir verwenden hierfür Rough Path Integrationstheorie. Zunächst werden Rough Path Integrale eingeführt und einige Eigenschaften dieser sowie der zugehörigen Differential- bzw. Integralgleichungen gezeigt. Danach wird dies verwendet um Lösungstheorie für stochastische Differentialgleichungen zu erhalten.
Simultane Konfidenzintervalle für Kontingenztafeln. - Ilmenau. - 40 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2020
Bei Datenanalysen werden Informationen oft in Kontingenztafeln zusammengefasst. In dieser Arbeit untersuchen die Abhängigkeit zweier Merkmale. Anstatt einen chi-Quadrat-Test anzuwenden, berechnen wir hierzu simultane Konfidenzintervalle der bedingten Wahrscheinlichkeiten. Daraus leiten wir einen Test auf Unabhängigkeit ab.
Eine Delta-Methode für den Wasserstein-Abstand. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2019
Die Steinsche Methode dient der Herleitung von Grenzwertsätzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie erlaubt es, dabei auch Konvergenzgeschwindigkeiten zu bestimmen, da sie den Abstand der Verteilung der betrachteten Zufallsvariable zur asymptotischen Verteilung abschätzt. Diese Arbeit beschäftigt sich hauptsächlich mit der Steinschen Methode ohne Reskalierung, wobei die zugehörigen Approximationsfehler quantifiziert. Dies wird anschließend für die Delta-Methode verwendet, welche eine große Rolle in der asymptotischen Statistik spielt.
Ein verallgemeinerter Kalman-Filter für den homogenen Raum der Tensorzerlegungen . - Ilmenau. - 64 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2019
In dieser Arbeit formulieren wir, motiviert durch das Problem der Vorhersage des Ausbreitungskanals in einem MIMO Übertragungssystem, verallgemeinerte Zustandsraummodelle und Kalman-Filter auf Mannigfaltigkeiten. Die Ausbreitungskanäle lassen sich durch komplexe 3-Weg Tensoren niedrigen Ranges beschreiben. Zur Reduktion der zu schätzenden Parameter dienen Tensorzerlegungen. Zunächst weisen wir nach, dass die Menge dieser Tensorzerlegungen einen homogenen Raum bildet. Im Anschluss formulieren wir Zustandsraummodelle, wobei der Zustandsraum durch den homogenen Raum der Tensorzerlegungen und der Beobachtungsraum, durch den Raum der komplexen 3-Weg Tensoren gegeben ist. Das Vorhersageproblem lösen wir mit Hilfe eines verallgemeinerten Kalman-Filters. Abschließend testen wir durch Simulation eines einfachen Zustandsraummodells, wie gut das gewonnene Verfahren zur Rekonstruktion dient.
Ein zentraler Grenzwertsatz für unvollständige U-Statistiken. - Ilmenau. - 49 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
In dieser Arbeit wird ein hinreichendes Kriterium dafür entwickelt, dass eine unvollständige U-Statistik asymptotisch normalverteilt ist. Genauer wird der Wasserstein-Abstand zur Normalverteilung mittels Steins Methode abgeschätzt. Der Beweis basiert auf einer Variation des Beweises für den gewöhnlichen Zentralen Grenzwertsatz. Schließlich wird der gezeigte Satz auf U-Statistiken und Erd˝os-Rényi-Zufallsgraphen angewendet.
Einige Kategorien glatter Strukturen auf metrischen Räumen. - Ilmenau. - 44 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
In dieser Arbeit wurde betrachtet, in welchen Weisen sich der Begriff glatter Funktionen von Mannigfaltigkeiten auf metrische Räume verallgemeinern lässt. Dabei wurde zunächst untersucht, inwiefern dies mit der Theorie der Frölicher Räume, in der die glatte Struktur durch glatte Kurven beziehungsweise glatte reellwertige Funktionen ausgedrückt ist, möglich ist. Für zwei derartige Ansätze wurde gezeigt, dass diese auf metrischen Räumen mit bereits bekannter glatter Struktur nicht das gewünschte Ergebnis liefern. Anschließend wurden zwei Kategorien beschreiben, die auf natürliche Weise den Begriff der Glattheit auf metrischen Räumen definieren. Für diese wurde gezeigt, dass diese auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten die übliche Struktur liefern. An einem weiteren Beispiel wurde gezeigt, dass diese Kategorien auch auf weiteren Räumen wünschenswerte Ergebnisse liefern, an einem weiteren allerdings auch Grenzen der Anwendbarkeit dieser Kategorien aufgezeigt.
General Chaos Expansion für reellwertige Zufallsvariablen. - Ilmenau. - 55 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Bachelorarbeit 2018
In dieser Arbeit wird das Problem, für eine gewisse Zufallsgröße X mit bekannter Verteilung eine unbekannte Funktion f zu approximieren, wobei f(X) quadratisch integrierbar ist. Dazu wird ausgenutzt, dass der Raum solcher Funktionen ein Hilbertraum ist, sodass f in eine Fourierreihe entwickelt werden kann, falls dieser ein bekanntes vollständiges und abzählbares Orthonormalsystem besitzt. Dieses Verfahren heißt Chaos Expansion. Es wird nachgewiesen, dass zu jeder Verteilung von X ein vollständiges abzählbares Orthonormalsystem existiert. Ferner wird ein Algorithmus beschrieben, mit dem ein solches Orthonormalsystem konstruiert werden kann. Dabei wird auf verschiedene Methoden zurückgegriffen, sowohl auf die eher klassische Polynomial Chaos Expansion als auch auf eine selbst erarbeitete, die auf Transformation basiert, speziell mit der Verteilungsfunktion von X. Außerdem müssen die Koeffizienten zur Reihenentwicklung berechnet oder zumindest approximiert werden, wobei Schwierigkeiten auftreten, da f nicht explizit bekannt ist. Es wird ein Kriterium für eine hinreichende Approximation angegeben und beschrieben, wie - vorausgesetzt die Auswertung von f(x) ist für jedes reelle x möglich - bekannte numerische Verfahren genutzt oder auch adaptiert werden können, um dieses Kriterium zu erfüllen. Schließlich wird noch ein mögliches Konzept zur Beurteilung der Approximationsgenauigkeit bei Verwendung einer gewissen Partialsumme der Fourierreihe vorgeschlagen.
Konfidenzbereiche zur optimalen Anpassung von Versicherungsverträgen. - Ilmenau. - 42 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018
In der Versicherungsbranche werden mit dem Modell der logistischen Regression vertragsindividuelle Stornowahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von Beitragsanpassungen geschätzt. Diese werden im Anschluss genutzt, um den erwarteten Gewinn zu Optimieren. Dabei wird zunächst nicht berücksichtigt, dass der im Modell geschätzte Parameter und damit auch der optimierte Gewinn durch einen Konfidenzbereich zu relativieren ist. In dieser Arbeit zeigen wir zunächst die asymptotischen Eigenschaften des Maximum-Likelihood-Schätzers in dem Modell der logistischen Regression, um anschließend für den wahren Parameter einen asymptotischen Konfidenzellipsoid anzugeben. Diesen nutzen wir, um für jede zweifach stetig differenzierbare Funktion mit beschränkter Hesse-Matrix einen uns in der Literatur bisher nicht bekannten asymptotischen Konfidenzbereich herzuleiten. Dieses Ergebnis wird abschließend in einer Fallstudie veranschaulicht.
Kalman-Filter auf Lie-Gruppen. - Ilmenau. - 62 Seiten
Technische Universität Ilmenau, Masterarbeit 2018
In dieser Arbeit formulieren wir, motiviert durch das Problem der Korrektur der Kopfbewegung in der Magnetoenzephalographie, Kalman-Filter auf Mannigfaltigkeit und Lie-Gruppen. Auf Lie-Gruppen erhalten wir unter Anwendung von verschiedenen Approximationen der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel zwei Algorithmen. In Simulationen testen wir die so gewonnen Verfahren anhand typischer Bewegungsmuster und erzielen dabei gute Rekonstruktionen. Noch ist nicht klar welcher der beiden Algorithmen bessere Ergebnisse erzeugt.