Lehre

Die Regressionsschätzung ist ein wichtiger Teil der Statistik. Hierbei werden Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Größen genauer untersucht. In einem Regressionsmodell, dem sogenannten Fixed-Design-Modell, werden zu festen Eingabewerten zufällig gestörte Daten einer Funktion beobachtet. Ziel ist es nun, die unbekannte Funktion anhand dieser Datenpaare zu schätzen. In der vorliegenden Arbeit wurde dazu der Priestley-Chao-Schätzer und der Gasser-Müller-Schätzer verwendet. Für solche Schätzer ist außerdem von Interesse, wie weit die geschätzte Funktion von der unbekannten Funktion abweicht. Hierzu werden Konfidenzbänder betrachtet. Das heißt, es wird ein möglichst kleines Band um die geschätzte Funktion gesucht, welches die unbekannte Funktion mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit überdeckt. Dabei soll auf eine Verteilungsannahme sowie auf eine asymptotische Betrachtung verzichtet werden. Ziel dieser Arbeit ist die Bestimmung universaler Konfidenzbänder. Es wird daher für jede feste Stichprobenzahl ein Konfidenzband in Abhängigkeit dieser bestimmt.

Zur Statistik von Jordangebieten in der Ebene oder zum Zwecke der Mustererkennung bietet es sich an diese Gebiete möglichst so darzustellen, dass gewisse Operationen auf ihnen einfach ausgeführt werden können. Hierbei muss jedoch sicher gestellt werden, dass unter diesen Operationen wieder Jordangebiete entstehen. Eine Möglichkeit dies zu bewerkstelligen ohne viele Nebenbedingungen beachten zu müssen besteht in sogenannter konformer Verheftung. Dank des Riemann'schen Abbildungssatzes ist es möglich sowohl das Innere als auch das Äußere eines einfach zusammenhängenden Gebietes auf das Innere beziehungsweise das Äußere des Einheitskreises konform abzubilden. Diese Abbildungen sind homöomorph auf den Rand des Einheitskreises fortsetzbar und erlauben es dort einen charakteristischen Homöomorphismus des Gebietes zu definieren. Diese charakteristischen Homöomorphismen stellen die gewünschte Darstellung unseres Gebietes dar. Zur Rekonstruktion eines Gebietes aus einem solchen Homöomorphismus dient der Verheftungssatz, welcher es ermöglicht für quasisymmetrische Homöomorphismen gewisse Jordangebiete, sogenannte Quasikreise, zu konstruieren. Diese Arbeit stellt die komplette notwendige Theorie dieses Vorgehens dar. Des Weiteren enthält sie einige numerische Experimente, die das Verfahren illustrieren.

Diese Arbeit handelt von einem kleinen Teil des weiten Feldes Compressed Sensing, welches heutzutage eine große Rolle in der Signal- und Bildverarbeitung spielt. Diese Arbeit besteht aus fünf Kapiteln. Das erste Kapitel erläutert einige grundlegende Begriffe im Zusammenhang mit Compressed Sensing. Unter anderem werden die Begriffe Sparsity, Kohärenz und der Kruskal-Rang eingeführt. Darüber hinaus wird das Vorgehen bei Sparsity Order Estimation beschrieben. Dies dient als Motivation im zweiten Kapitel zunächst das allgemeine Packungsproblem zu erläutern. Hier wird ein bekanntes Resultat für die n-dimensionale Sphäre auf einen projektiven Raum übertragen, welches es uns ermöglicht Schranken für die Packungszahlen von Matrizen mit Rang 1 herzuleiten. Dies ermöglicht die Ableitung von Schranken für die Kohärenz von Khatri-Rao-Produkten, welche ein zentrales Ergebnis dieser Arbeit darstellen. Das dritte Kapitel dreht sich um das Problem, wie man explizit Matrizen mit niedriger Kohärenz konstruieren kann, wobei reell- und komplexwertige Matrizen zum Tragen kommen. Wir stellen Strategien zur Konstruktion von beliebigen Matrizen, Khatri-Rao-Produkten und Vandermonde Matrizen vor. Der Algorithmus für letztere zieht auch untere und obere Köhärenzschranken nach sich. Kapitel vier illustriert einige numerische Resultate für die Schranken und Algorithmen, welche vorher hergeleitet wurden. Wann immer möglich werden numerische Resultate mit theoretischen verglichen. Das letzte Kapitel gibt eine kurze Zusammenfassung der Arbeit und zeigt einige Bereiche auf, welche noch offene Fragen beinhalten.

Diese Arbeit ist in sechs Kapitel unterteilt. Die Einleitung gibt einen kurzen Überblick über die Theorie der reproduzierenden Kerne für Hilberträume und motiviert zugleich die Verallgemeinerung auf Banachräume. Im zweiten Kapitel sind die theoretischen Grundlagen zusammengestellt, welche notwendig sind um spezielle Banachräume zu entwickeln, welche reproduzierende Kerne besitzen können. Kapitel 3 befasst sich schließlich mit Banachräumen mit reproduzierenden Kernen (RKBS), welche aufgrund der Theorie des zweiten Kapitels definiert werden können. Insbesondere werden hier grundlegende Resultate aus der Hilbertraumtheorie analog auf RKBS verallgemeinert. In Kapitel 4 wird erläutert, wie sich RKBS zur Lösung von Interpolationsproblemen einsetzen lassen. In Kapitel 5 wird die Theorie der letzten beiden Kapitel an zwei ausführlichen Beispielen erläutert. Im letzten Kapitel werden die Ergebnisse diskutiert und es gibt einen Ausblick auf mögliche weitere Forschung.

Es gibt viele multikriterielle Optimierungsprobleme in denen verschiedene Größen unbekannt sind und daher geschätzt werden müssen. Solche Schätzungen liefern eine Folge von Ersatzproblemen. Daher wäre es nützlich die Qualität dieser Probleme in Bezug auf die zulässige Menge, die effiziente Menge und die zugehörige Lösungsmenge zu kennen. Das Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung geeigneter quantitativer Aussagen zur Konvergenz der Mengenfolgen die durch das Lösen der Ersatzprobleme entstehen. Weiterhin wird gezeigt wie diese Aussagen dazu benutzt werden können, um Konfidenzmengen zu erhalten.